Hasil Kali Titik Pada Vektor (Dot Product)

Definisi :

Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 dan ruang-3 dan \theta adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh

u.v =

artinya panjang vektor u dan didefinisikan sebagai = (jika di ruang-2) dan = (jika di ruang-3). Panjang sebuah vektor juga dikenal dengan nama norma. Secara geometris dapat dilukiskan seperti pada gambar dibawah ini.

Gambar 1 : vektor pada ruang-2

Baca lebih lanjut

Proyeksi Vektor

Misal kita punya dua buah vektor yaitu a dan u yang berada pada ruang yang sama seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

Jika vektor u dan a ditempatkan sedemikian sehingga titik awalnya berimpit dan vektor u disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w1 dan w2, sehingga vektor u dapat dituliskan sebagai u = w1 + w2. Kemudian vektor a terletak sejajar dengan w1, sedemikian sehingga w1 = ka. Jika kita lihat vektor w1 pada gambar diatas maka vektor w1 diperoleh dari proyeksi ortogonal u terhadap a dan dapat ditulis sebagai w1 = ka, w1 disebut proyeksi ortogonal u pada a [ditulis : proyau] atau dinamakan komponen vector u sepanjang a, sedangkan w2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w1. Jika sudut antara u dan a adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah w1 akan berlawanan dengan arah a [perhatikan gambar diatas].

Bagaimana menghitung proyeksi ortogonal u pada a [proyau] dan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a [u – proyau] ? Berikut teorema yang memberikan rumus proyau dan u – proyau.

Teorema :

Jika u dan a adalah vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan jika a \neq 0, maka

proyau =

u – proyau =

Baca lebih lanjut

Ring

Pengertian Ring dan Sifat-sifat Ring

Dalam materi Struktur Aljabar  II akan diberikan materi mengenai Ring. Dimana dalam materi tersebut, akan dijelaskan mengenai pengertian ring dan sifat-sifat ring sekaligus pembuktian dari sifat-sifat ring tersebut.

Untuk lebih jelasnya, silahkan download aja disini….

“Klik untuk Download”

Pemanfaatan Microsoft Excel Sebagai Media Pembelajaran Matematika

Kalau kita berbicara tentang pelajaran MATEMATIKA tentu semua orang menganggap bahwa matematika itu menakutkan bahkan menyeramkan. Karena Pelajaran Matematika dijadikan tolak ukur dalam Ujian Nasional. Dimana banyak orang yang tidak lulus karena matematika. Dalam buku yang saya baca terdapat kata Apakah matematika itu? Sesuatu yang di kerjakan oleh ahli matematika? Kemudian muncul pertanyaan Siapakah itu ahli matematika? Seorang yang mengerjakan matematika. Jawaban itu terlalu sederhana, terlalu mudah dan menciptakan logika berputar.

Matematika berasal dari bahasa latin manthanein atau mathema yang berarti belajar atau hal yang dipelajari. Matematika dalam bahasa Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran. Ciri utama matematika adalah penalaran deduktif, penalaran deduktif merupakan suatu kebenaran suatu konsep atau pernyataan diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran sebelumnya sehingga kaitan antar konsep atau pernyataan dalam matematika bersifat konsisten. Baca lebih lanjut

Contoh Soal Logaritma

Contoh-Contoh Soal Logaritma dan Penyelesaiannya

Berikut ini adalah contoh-contoh soal logaritma dalam pelajaran Matematika SMA dan jawabannya / penyelesaiannya/ penjelasannya. Yang perlu diperhatikan adalah bagaimana kita mengerjakan soal-soal logaritma dengan teliti step by step. Gambar di atas adalah sifat-sifat dasar logaritma. Semoga bisa memberi sedikit pencerahan untuk semua yang ingin belajar materi logaritma ini.

Contoh Soal Integral Parsial

Soal-soal integral terkadang ditanyakan dalam bentuk yang tidak sederhana, salah satunya adalah bentuk yang terdiri dari perkalian beberapa fungsi. Untuk menyelesaikan soal tersebut, bisa menggunakan cara integral parsial.

Rumus integral parsial adalah

\[ \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \]

dimana kita perlu memilih salah satu fungsi pada soal sebagai u dan fungsi sisanya sebagai dv.

Saat mengerjakan soal integral parsial, kita perlu memilih fungsi u yang tepat dengan syarat saat u diturunkan, hasil turunannya akan lebih sederhana daripada u sendiri. Sebagai pedoman umum, gunakan urutan dibawah ini sebagai prioritas permisalan :

  1. u = \ln x
  2. u = x^n
  3. u = e^{n x}

Baca lebih lanjut

Himpunan

Dalam materi ini kita akan mempelajari Materi Matematika SMP kelas VII tentang himpunan.

HIMPUNAN
Pengertian himpunan

Himpunan adalah sekelompok benda dari unsur yang telah dibatasi atau terdefinisikan secara jelas dan memiliki sifat keterikatan tertentu. Misalnya himpunan hewan dalam hutan, himpunan bilangan genap antara 20 sampai dengan 40.

Sifat Unsur-unsur himpunan

Sifat keterikatan tertentu benda-benda didalam suatu himpunan disebut juga sifat himpunan, adapun sifat dari himpunan adalah

  1. Objek di dalam suatu himpunan bisa dibedakan antara obyek satu dengan yang lainnya, misalnya himpunan hewan dalam hutan, dim ana anggotanya bisa harimau, jerapah, gajah dan sebagainya.
  2. Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada didalam ruangan.misalnya himpunan benda dalam aquarium bisa dibedakan dengan benda yang berada diluar aquarium, misalnya kursi yang ada diluar

berikut pembahasan yang akan dipelajari dalam himpunan:

  1. Ciri – ciri dan Lambang Himpunan
  2. Menyatakan Himpunan
  3. Anggota Himpunan
  4. Jenis-jenis Himpunan
  5. Diagram Venn
  6. Irisan dan Gabungan
  7. Sifat – sifat Operasi Himpunan

Semoga materi ini dapat bermanfaat bagi pembaca…..

Terima Kasih.

Tabung

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai benda seperti kaleng botol minuman, tabung elpiji, pipa paralon, tabung pemadam, kaleng farfum semprot, ataupun neon atau pun bohlam dan lain yang dasarnya berbentuk lengkung (lingkaran). Benda-benda itu dalam matematika dikenal sebagai bangun ruang sisi lengkung atau bangun ruang beraturan. Ciri khas dari bangun ini adalah bentuknya beraturan, alas dan tutupnya berupa lingkaran dan selalu mempunyai unsur tinggi atau tebal. Unsur inilah yang digunakan untuk menghitung luas permukaan dan volume tabung.

Pengertian Tabung

Gambar di samping merupakan contoh sebuah tabung. Sisi alas dan sisi atas tabung berbentuk lingkaran. Di mana kedua lingkaran ini saling kongruen dan saling sejajar. Dengan demikian tabung dapat diartikan sebagai bangun ruang sisi lengkung yang alas dan tutupnya berupa lingkaran dengan panjang jari-jari sama dengan r.

Baca lebih lanjut